MODELADO MATEMÁTICO PARA EL CONTROL ÓPTIMO DE LA POLIOMIELITIS

MATHEMATICAL MODEL FOR THE OPTIMAL CONTROL OF POLYOMYELITIS

Alvaro Andrés Quintero Orrego

Recibido: 03/20/2016 - Aceptado: 04/30/2016

Cómo citar este artículo: A. Quintero, “Modelado matemático para el control óptimo de la poliomielitis”, IngEam, vol. 3, n.° 3, pp. 61 - 65, 2016

Resumen

Se modela el control óptimo por prevención de la poliomielitis, mediante un funcional objetivo de costos indirectos y directos ligado a un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que interpreta la dinámica de transmisión de la bacteria en la población humana. Se analiza por el principio máximo de Pontryagin obteniendo un problema de contorno que se resuelve por MATLAB utilizando valores hipotéticos para los parámetros.

Palabras clave: Modelado Matemático, Control óptimo, Poliomielitis, Funcional de costos, Principio Máximo de Pontryagin, Problema de contorno.

Abstract

Optimal polio prevention control is modeled through a functional target of direct and indirect costs linked to a system of nonlinear differential equations that interprets the dynamics of the transmission of the bacterium in the human population. It is analyzed by the maximum principle of Pontryagin obtaining a contour problem that is solved by MATLAB using hypothetical values for the parameters.

Keywords: Mathematical model, Optimal control, Poliomyelitis, Functional cost, Pontryagin maximum principle, ContourProblem.

I. INTRODUCCIÓN

La poliomielitis (del griego polio´s: gris; y de myelos: refirie´ndose a la me´dula espinal) es una enferme- dad contagiosa, tambie´n llamada para´lisis infantil que afecta principalmente el sistema nervioso, causada por la infeccio´n con el poliovirus, el cual se propaga por contacto directo de persona a persona, por con- tacto con moco o flema infectados de la nariz o de la boca o por contacto con heces infectadas. Se llama infantil porque las personas que contraen la enfermedad son especialmente los nin˜os entre cinco y diez an˜os.

El virus entraa trave´s de la bocay la nariz, se multiplica en la gargantay en el tracto intestinal para luego ser absorbidoy diseminarse a trave´s de la sangre y el sistema linfa´tico. El tiempo desde el momento de resultar infectado con el virus hasta el desarrollo de los s´ıntomas de la enfermedad (incubacio´n) oscila entre 5 y 35 d´ıas con un promedio de7a 14 días.

La mayor´ıa de las infecciones de polio son asintoma´ticas. Solo en el 1 % de casos, el virus entra al sis- tema nervioso central (SNC) vía la corriente sangu´ınea. Dentro del SNC, el poliovirus preferencialmente infecta y destruye las neuronas motoras. Esa destruccio´n de neuronas causa debilidad muscular y para´lisis aguda fla´cida [7]

Fig. 1: Secuelas de la poliomielitis en la infancia

El poliovirus es ma´s probable que ocurra en nin˜os de 4 a 15 an˜os en climas templados, en verano ca´lido e invierno un poco fr´ıo, es una enfermedad muy infecciosa, pero se combate con la vacunacio´n. En su forma aguda causa inflamacio´n en las neuronas motoras de la me´dula espinal y del cerebro y lleva a la para´lisis, atrofia muscular y muy a menudo deformidad. En el peor de los casos puede causar para´lisis permanente o la muerte al paralizarse el diafragma [8]

En relacio´n al control o´ptimo y aplicacio´n del principio del ma´ximo de Pontryagin, se encuentran apli- caciones deterministas en epidemiolog´ıa matema´tica como en Cancer, VIH-SIDA, Tuberculosis, Co´lera, Dengue, Malaria, Influenza [1], [3], [5], [2], [4].

 2 FORMULACIO´ N DEL  PROBLEMA DE  CONTROL  O´ PTIMO

Se propone el siguiente problema de control o´ptimo de la poliomielitis mediante control por vacunacio´n y medidas preventivas para evitar el contagio con la bacteria diseminada en el medio ambiente. La dina´mica corresponde a un proceso estoca´stico, continuo de nacimiento - muerte homoge´neo con estados discretos y tasas de flujos de Poisson. Se interpreta mediante un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales para las magnitudes promedio.

Las variables y para´metros del modelo son: x: nu´mero promedio de personas susceptibles en el grupo de riesgo desde que nacen a los veinte an˜os; w: nu´mero promedio de personas infectadas asintoma´ticas en el grupo de riesgo desde que nacen a los veinte an˜os; y: nu´mero promedio de personas infecciosas en el grupo de riesgo desde que nacen a los veinte an˜os; z; nu´mero promedio de personas inmunes en el grupo de riesgo desde que nacen a los veinte an˜os; N : poblacio´n total en el grupo de riesgo desde que nacen a los veinte an˜os en un tiempo t, respectivamente. c: concentracio´n del poliovirus en el medio ambiente; u1( t) : control dependiente del tiempo que indica la fraccio´n de recie´n nacidos vacunados; u2( t) : control dependiente del tiempo que indica la fraccio´n de personas que toman medidas preventivas al contagio con el ambiente con- taminado; βy,  βc: probabilidades de transmisio´n directa e indirecta; θ: tasa de evolucio´n de la infeccio´n; γ: tasa de infecciosos que adquieren inmunidad; σ, δ: tasas de descarga del poliovirus al medio ambiente por las personas infecciosasy personas infectadas sintoma´ticos y  : tasa de eliminacio´n del poliovirus del medio ambiente; τ : tiempo fijo para el control o´ptimo; ρ1,  ρ2: pesos.

El diagrama de compartimientos que interpreta la dina´mica de la poliomielitis es:

Figura 1: Dinámica de transmisión y control óptimo de la poliomielitis

Se plantea el funcional objetivo de costos directos e indirectos:

2.1. ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE CONTROL ÓPTIMO


Al respecto se formula el siguiente teorema:

3. RESULTADOS NUMÉRICOS

El problema de contorno esta formado por el sistema de variables de estado de la dinámica de transmisión de la poliomielitis, con sus respectivas condiciones iniciales, el sistema conjugado y las condiciones terminales y el control óptimo:


se resolvió utilizando el programa MATLAB con las condiciones iniciales, condiciones terminales y valores hipotéticos de los parámetros.

Figura 2: Comportamiento de las personas susceptibles x, personas infectadas asintomáticos w, personas infecciosas
y, personas inmunes z y concentración del poliovirus en el medio ambiente c.

AGRADECIMIENTOS

A la Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales-Caldas, Laboratorio de Matemáticas y Biología Teórica L-MyBT, GMME, Universidad del Quindío.

REFERENCIAS

[1]     S. BOWONG, Optimal control of the transmission dynamics of tuberculosis, Nonlinear Dyn, 21 March 2010.

[2]     A.B. GUMEL, O. SHAROMI, Curtailing smoking dynamics: A mathematical modeling approach, Applied Mathematics and Computation, 19(2008)475-499.

[3]     J. KARRAKCHOU, M. RACHIK, S. GOURARI, Optimal control and infectiology: application to an HIV-AIDS model, Applied Mathematics and Computation 177(2006)807-818.

[4]     C. KAYA, Time-optimal switching control for the US cocaine epidemic, Socio-Economic Planning Sciences 38(2004)57-72.

[5]     N.R.L. MILLER, E. SCHAEFER, H. GAFF, R. K. FISTER, S. LENHART, Modeling Optimal Intervention Strategies for Cho- lera, Bulletin of Mathematical Biology (2010).

[6]     Caetano M.A., Yoneyama T. Optimal and sub-optimal control in Dengue epidemics, Optim. Control Appl. Math. 2001;22:63- 73.

[7]     Ryan KJ; Ray CG (editors) (2004). Sherris Medical Microbiology (4th ed. edicio´n). McGraw Hill. pp. 535-7

[8]     Chamberlin SL, NarinsB (editors) (2005). The Gale Encyclopedia of Neurological Disorders. Detroit: Thomson Gale





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